概率
Penney's game：为什么后手稳赢
三次抛硬币的每一种结果机会都一样，可是在 Penney's game 里，后选的人永远能挑到一个比较早出现的序列，至少三次赢两次。这里有后手的应对法则、逐行精确核算过的整张表，以及 Conway 算任何一局胜率的方法。
机会一样，不等于来得一样早。序列赛跑时，决定胜负的是两个序列怎么互相重叠。
机会一样，不等于来得一样早
公平的硬币抛三次，每一种结果，HHH 也好、HTH 也好、THH 也好，机会都一样：八分之一。如果两个人各押一个序列、只比一组三次，谁都没有优势。
Walter Penney 在 1969 年提出的这个游戏， 只改了一件事：两人各挑一个三次的序列，然后一直抛下去，谁的序列先在这一长串结果里出现，谁就赢。一旦序列是在同一串结果里赛跑，机会一样就不再等于速度一样，而后选的人永远可以利用这一点。
后手的应对法则
后手是看过先手的序列之后才选。把先手的三次叫做第一、第二、第三个。后手的回应是：第二个的相反面，接着第一个和第二个。
简单说：抄先手的前两个，在前面补上先手中间那个的相反面。先手 HHT，你就选 THH；先手 HTH，你就选 HHT；先手 TTT，你就选 HTT。常见的错误是把第一个反过来，而不是中间那个：那样对 HHT 会选出 THT，胜率只有 3/8，比猜硬币还差。
整张表，逐行核过
八种对局全部列出来，数字是后手的胜率。先手 HHH，后手 THH 赢 7/8；先手 HHT，THH 赢 3/4；先手 HTH，HHT 赢 2/3；先手 HTT，HHT 赢 2/3；先手 THH，TTH 赢 2/3；先手 THT，TTH 赢 2/3；先手 TTH，HTT 赢 3/4；先手 TTT，HTT 赢 7/8。每一行都是精确算出来的，而且每一行里，法则给出的回应也正好是所有选择里最好的那一个。
最极端的那一行最好懂。HHH 只有在头三次刚好是 HHH 时才会赢，机会是八分之一。只要在那之前出现过一次反面，第一次出现的三连正面前面一定紧贴着一个反面，那个反面加上两个正面就是 THH，已经先完成了。所以后手最差也有三次赢两次，碰上 HHH 或 TTT 更是八次赢七次。
没有最强的序列，只有最好的回应
一部分直觉来自等待时间。平均要抛 14 次才看到 HHH，10 次看到 HTH，8 次看到 THH。像 HHH 这种和自己重叠的序列，出现时往往扎堆，所以第一次出现会比较晚。
可是等待时间解释不了全部，因为胜负会绕成一个圈。THH 以 3/4 赢 HHT，HHT 以 2/3 赢 HTT，HTT 以 3/4 赢 TTH，TTH 又以 2/3 赢回 THH。这种关系没有传递性，就像剪刀石头布：先选的人没有最强的序列可挑，只有针对对方的最好回应。
Conway 的 leading numbers
John Conway 找到一种可以手算任何一局的方法，收在 Winning Ways 里，也出现在 Martin Gardner 的文章中。对两个序列 A 和 B，定义一个相关数 A:B：把 B 垫在 A 下面一格一格挪，在 A 的每一个位置问一次：A 从这里到结尾的部分，是不是正好等于 B 的开头？是就写 1，不是就写 0，再把这串数字当成二进制数来读。
B 比 A 先出现的赔率，是（A:A 减 A:B）比（B:B 减 B:A）。以 A 为 HHH、B 为 THH：A:A 是 111，也就是 7；A:B 是 000，也就是 0；B:B 是 100，也就是 4；B:A 是 011，也就是 3。赔率是 7 比 1，也就是 7/8，和表上一样。Penney's Game 那一页的实验室，可以替你算任何一对序列。
优势在哪里消失
这个优势有边界，值得知道。序列长度是三或以上时，Guibas 和 Odlyzko 在 1981 年证明了后手永远有一个会赢的回应，做法是拿先手开头的几个符号，在前面补上一个。 长度只有二的时候就不成立：先手选 HT 或 TH，后手最好也只能打平，各一半。
它也要求硬币公平。如果硬币五次有四次正面，THH 对 HHH 只剩 125 次赢 61 次，不到一半，先手的 HHH 反而成了热门。这个教训不只适用于硬币：事件在一串过程里赛跑时，先问这些模式怎么重叠，也要问这个过程是不是真的像你以为的那么公平。